Solo per NERD
27 Luglio 2023 - 3.686 visualizzazioni
Negli anni '30, quando Dirac creò la teoria quantistica dei campi, quantizzò il campo elettromagnetico in un modo davvero strabiliante. Einstein ebbe l'incredibile intuizione che in qualche modo le frequenze dovevano essere quantizzate, in modo che la loro energia non fosse arbitraria ma dovesse essere multipli interi di hv.
Si trattava di un Ansatz, una prescrizione. Dirac riuscì a trasformare questo in un fatto matematico. La sua idea era di utilizzare proprio la non commutatività per costringere una certa quantità a essere un numero intero.
Una volta fatto questo, Dirac cercò di applicare la stessa tecnica per trattare i campi quantistici di sistemi più complicati. Ma non funzionò. Le espressioni che scriveva non avevano alcun senso. Alla fine degli anni '40 si ottennero misure più precise del cosiddetto spostamento di Lamb. I tentativi di spiegare le misure a partire dalla fisica fallirono perché le quantità che avrebbero dovuto spiegarlo erano prive di significato in quanto date da integrali divergenti.
Era un periodo terribile per la fisica. Poi vennero alla ribalta persone coraggiose come Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman. Manipolarono gli infiniti per estrarre quantità finite e confrontarono queste quantità con le misure. Per quello che viene chiamato il momento anomalo dell'elettrone, la precisione dell'accordo era quella della larghezza di un capello in proporzione alla distanza da Parigi a New York. Nessuno poteva negare di essersi imbattuto in qualcosa di grandioso. D'altra parte, se si metteva un matematico a guardare quello che stavano facendo, si sentiva il matematico urlare!
(...) Perché manipolavano gli infiniti in un modo del tutto incomprensibile. Quello che stavano facendo si chiama rinormalizzazione. A partire dagli anni '70 sono rimasto affascinato da questo fenomeno.
Poi c'è stato un momento di rivelazione nel settembre del 2000. Di solito, quando si fa una scoperta, si è euforici per un'ora e poi si ritorna alla realtà. Ma in quel caso rimasi in uno stato di euforia per una settimana. La scoperta fu che questa tecnica incredibilmente complicata che i fisici utilizzano per la rinormalizzazione è in realtà una tecnica ben nota in matematica, chiamata decomposizione di Birkhoff. È stata introdotta da Birkhoff, e anche Grothendieck l'ha utilizzata per dimostrare un teorema molto importante sui fasci di vettori sulla sfera.
In seguito, quando collaborai con Matilde Marcolli, scoprimmo che dietro la rinormalizzazione non c'era solo la decomposizione di Birkhoff, ma anche un problema ancora più fondamentale, il problema di Riemann-Hilbert. Ci abbiamo lavorato per diversi anni. Ma in un certo senso avevo smesso di pensare alla rinormalizzazione, perché nella mia mente era stata risolta.
[Così i matematici non hanno urlato più] perché adesso lo capiscono. Ma ci vuole molto tempo perché i matematici non sanno cosa sia la rinormalizzazione e i fisici non sanno cosa sia il problema di Riemann-Hilbert!
Tratto da un'intervista ad Alain Connes, vincitore nel 1982 della medaglia Fields.
Si trattava di un Ansatz, una prescrizione. Dirac riuscì a trasformare questo in un fatto matematico. La sua idea era di utilizzare proprio la non commutatività per costringere una certa quantità a essere un numero intero.
Una volta fatto questo, Dirac cercò di applicare la stessa tecnica per trattare i campi quantistici di sistemi più complicati. Ma non funzionò. Le espressioni che scriveva non avevano alcun senso. Alla fine degli anni '40 si ottennero misure più precise del cosiddetto spostamento di Lamb. I tentativi di spiegare le misure a partire dalla fisica fallirono perché le quantità che avrebbero dovuto spiegarlo erano prive di significato in quanto date da integrali divergenti.
Era un periodo terribile per la fisica. Poi vennero alla ribalta persone coraggiose come Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman. Manipolarono gli infiniti per estrarre quantità finite e confrontarono queste quantità con le misure. Per quello che viene chiamato il momento anomalo dell'elettrone, la precisione dell'accordo era quella della larghezza di un capello in proporzione alla distanza da Parigi a New York. Nessuno poteva negare di essersi imbattuto in qualcosa di grandioso. D'altra parte, se si metteva un matematico a guardare quello che stavano facendo, si sentiva il matematico urlare!
(...) Perché manipolavano gli infiniti in un modo del tutto incomprensibile. Quello che stavano facendo si chiama rinormalizzazione. A partire dagli anni '70 sono rimasto affascinato da questo fenomeno.
Poi c'è stato un momento di rivelazione nel settembre del 2000. Di solito, quando si fa una scoperta, si è euforici per un'ora e poi si ritorna alla realtà. Ma in quel caso rimasi in uno stato di euforia per una settimana. La scoperta fu che questa tecnica incredibilmente complicata che i fisici utilizzano per la rinormalizzazione è in realtà una tecnica ben nota in matematica, chiamata decomposizione di Birkhoff. È stata introdotta da Birkhoff, e anche Grothendieck l'ha utilizzata per dimostrare un teorema molto importante sui fasci di vettori sulla sfera.
In seguito, quando collaborai con Matilde Marcolli, scoprimmo che dietro la rinormalizzazione non c'era solo la decomposizione di Birkhoff, ma anche un problema ancora più fondamentale, il problema di Riemann-Hilbert. Ci abbiamo lavorato per diversi anni. Ma in un certo senso avevo smesso di pensare alla rinormalizzazione, perché nella mia mente era stata risolta.
[Così i matematici non hanno urlato più] perché adesso lo capiscono. Ma ci vuole molto tempo perché i matematici non sanno cosa sia la rinormalizzazione e i fisici non sanno cosa sia il problema di Riemann-Hilbert!
Tratto da un'intervista ad Alain Connes, vincitore nel 1982 della medaglia Fields.
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Perdona la franchezza... sono poco studiato